Prüfung:                     Informationstechnik 2

Termin:                       14. Juli 1999,  08:30 - 10:30

Prüfer:                        Prof. J. Walter

Hilfsmittel:                 beliebig

 

 

 

Name:                       _________________________

 

Vorname:                 _________________________

 

 

 

 

bitte keine rote Farbe verwenden

 

(nicht ausfüllen) !

 

Aufgabe

mögl. Punkte

erreichte Punkte

1

10

 

2

10

 

3

10

 

4

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gesamt

50

 

 

 

 

 

Note

 

 

Bearbeiten Sie die Aufgaben nur, falls Sie keine gesundheitlichen Beschwerden haben.

 

Viel Erfolg


 

 

1.   Laplace Transformation               (10 Punkte)

 

Gegeben ist die Übertragungsfunktion eines Systems mit

 

 

a)       Zeichnen Sie den Pol-, Nullstellenplan

b)       Ermitteln Sie die Lösung der Differentialgleichung f(t)

c)       Ist das System stabil ?

d)       Zeichnen Sie für die Funktion f(t) für

 

Lösung:

a)       Polstellen: ,


Nullstellenplan:

 

 

b)       Lösung der Differentialgleichung

 

Partialbruchzerlegung:

 

c) Das System ist nicht stabil, weil alle Polstellen rechts von oder auf der Imaginärachse liegen

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 


2.         DGL - Übertragungsfunktion - Systemantwort (10 Punkte)

 


Erstellen Sie für die nachfolgende Schaltung die Übertragungsfunktion.


 


 


Schaltung mit R  und C

a)   Erstellen Sie die Übertragungsfunktion

b)   Erstellen Sie die Differentialgleichung für den Zeitbereich ( System ist am Anfang in Ruhe)

c)   Bestimmen Sie die Sprungantwort für die normierten Werte R=1, C=1

d)   Skizzieren Sie die Sprungantwort

 

 

a)

 

 

 

b)

 

 

 

 

c)


d)

 

Abschätzung:

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 


 

3.         Gauß'sches Prinzip der kleinsten Fehlerquadrate (10 Punkte)

 

Die Funktion soll im Bereich  optimal durch eine Gerade angenähert werden.

 

a)   Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden

b)   Skizzieren Sie das Ergebnis

 

Lösung:

 


                2 Punkte


2 Punkte                                                      2 Punkte


 


  2 Punkte

 

 

2 Punkte
 

Lösung mit Maple:

 

int(diff((exp(-x)+exp(-2*x)+exp(-3*x)-a-b*x)^2,a),x=0..1.5);

                    -3.163213281 + 3.0 a + 2.25 b

 

> int(diff((exp(-x)+exp(-2*x)+exp(-3*x)-a-b*x)^2,b),x=0..1.5);

 

             -1.493419621 + 2.250000000 a + 2.250000000 b

 

> readlib(isolate):isolate(-3.163213281+3.0*a+2.25*b=0,a);

 

                   a = 1.054404427 - .7499999999 b

 

> isolate(-1.493419621+2.250000000*a+2.250000000*b=0,a);

 

                   a = .6637420537 - .9999999999 b

 

> isolate(.6637420537-.9999999999*b=1.054404427-.7499999999*b,b);

 

                           b = -1.562649493

 

> isolate(a =1.054404427-.7499999999*(-1.562649493),a);

 

                           a = 2.226391547

 

> plot ([2.226391547+x*(-1.562649493),exp(-x)+exp(-2*x)+exp(-3*x)],x=0...1.5);

 

 

 


4.         Digitale Filter (20 Punkte)

 

Ein Tiefpaß TP1 mit der Grenzfrequenz 50Hz ist als FIR-Filter für N=5 zu berechnen. Die Abtastfrequenz beträgt fa=1 kHz.

Ein Tiefpaß TP2 mit der Grenzfrequenz 50Hz ist als FIR-Filter für N=3 zu berechnen. Die Abtastfrequenz beträgt fa=1 kHz.

 

a)       Berechnen Sie die Filtergleichungen für die TP1 und TP2.

b)       Am Eingang wird ein Sinus mit 50 Hz und der Amplitude 1 angelegt. Skizzieren Sie die Ausgangswerte für eine Ausgangs-Periode. Berechnen Sie für eine Periode die Differenzen der Ausgangswerte zwischen TP1 und TP2.

c)       Begründen Sie das Ergebnis.

 

 

Lösung:

 

 

 

 

Filtergleichung N=3:

 

 

Filtergleichung N=5:

 

 

 


 

 

Grenzfrequenz

50

Fg/Fa

0,05

 

 

Abtastfrequenz

1000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N-Filter-1

3

N-Filter-2

5

 

 

 

 

 

 

 

k=

 

 

 

 

 

0

a_0

0,100

b_0

0,100

 

1

a_1

0,098

b_1

0,098

 

2

a_2

0,094

b_2

0,094

 

3

a_3

0,086

b_3

0,086

 

4

 

 

b_4

0,076

 

5

 

 

b_5

0,064

 

 

 

 

 

 

 

n

 

Eingangs-

funktion

Ausgang

Filter N=3

Ausgang

Filter N=5

Differenz

-5

-0,005

-1,000

 

 

 

-4

-0,004

-0,951

 

 

 

-3

-0,003

-0,809

 

 

 

-2

-0,002

-0,588

-0,317

 

 

-1

-0,001

-0,309

-0,167

 

 

0

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1

0,001

0,309

0,167

0,181

0,014

2

0,002

0,588

0,317

0,345

0,027

3

0,003

0,809

0,436

0,474

0,038

4

0,004

0,951

0,513

0,557

0,044

5

0,005

1,000

0,539

0,586

0,047

6

0,006

0,951

0,513

0,557

0,044

7

0,007

0,809

0,436

0,474

0,038

8

0,008

0,588

0,317

0,345

0,027

9

0,009

0,309

0,167

0,181

0,014

10

0,010

0,000

0,000

0,000

0,000

11

0,011

-0,309

-0,167

-0,181

-0,014

12

0,012

-0,588

-0,317

-0,345

-0,027

13

0,013

-0,809

-0,436

-0,474

-0,038

14

0,014

-0,951

-0,513

-0,557

-0,044

15

0,015

-1,000

-0,539

-0,586

-0,047

16

0,016

-0,951

-0,513

-0,557

-0,044

17

0,017

-0,809

-0,436

-0,474

-0,038

18

0,018

-0,588

-0,317

-0,345

-0,027

19

0,019

-0,309

-0,167

-0,181

-0,014

20

0,020

0,000

0,000

0,000

0,000

21

0,021

0,309

0,167

 

 

22

0,022

0,588

0,317

 

 

23

0,023

0,809

 

 

 

24

0,024

0,951

 

 

 

25

0,025

1,000

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

Bei einem analogen Tiefpaß erster Ordnung würde die Amplitude des Ausgangsignals

 

 

betragen. Zur Herleitung der obigen Filtergleichungen wurde aber ein ideales Filter vorausgesetzt. Deshalb müßte die Amplitude 1 betragen.

 

Ist die Filterordnung geringer wird die Ausgangsamplitude geringer sein. Bei größerer Filterordnung wird man näher an den optimalen Wert herankommen. Es gilt somit: bei N=5 erhält man ein besseres Ergebnis.


 




Hilfsblatt