Prüfung:                           Informationstechnik
MT 7D51

Termin:                            Mittwoch,
18. Juli 2007

8:30 – 10:30

Prüfer:                             Prof.
J. Walter

Hilfsmittel:                      beliebig
/ kein Internet / kein WLAN

Name:                       _________________________

Vorname:                 _________________________

Projekt:                    _________________________

Stick:                          _________________________

PC:                              _________________________

bitte keine rote Farbe verwenden

(nicht ausfüllen) !

Aufgabe

mögl.
Punkte

erreichte
Punkte

1

12

2

12

3

15

4

11

Gesamt

50

Note

Bearbeiten
Sie die Aufgaben nur, falls Sie keine gesundheitlichen Beschwerden haben.

Viel
Erfolg

Bemerkung:

Sie können die Vorder- und Rückseite
benutzten. Es werden nur die auf den Prüfungsblättern vorhandenen
oder fest mit den Prüfungsblättern verbundenen Ergebnisse gewertet.

Mit Abgabe dieser Arbeit bestätigen Sie das
Löschen von HPVEE „Classroom-Lizenz“ auf ihrem PC.

1.     Gauß'sches
Prinzip der kleinsten Fehlerquadrate

(12 Punkte)

Die Funktion:

soll im Bereich  optimal durch die Funktion   angenähert werden.

a)   8P  Bestimmen
Sie die Funktion.

b)  2P  Skizzieren Sie das Ergebnis.

c)   2P Um
welche-r/n Stelle/n tritt die größte Abweichung auf?

Lösung:

> restart;

Funktion Heaviside

> f:=Heaviside(t)-2*Heaviside(t-0.5)+Heaviside(t-1);

> plot(f,t=0..3);

> y:=b*sin(2*Pi*t);

> dS:=diff(int((y-f)^2,t=0..1),b);

> b:=1.273239545;

> plot([b*sin(2*Pi*t),f],t=0..1, color=[red,blue],style=[line,line]);

>

> > A:=b*sin(2*Pi*t)-f;

> plot(A,t=0..1);

>

2.     DFT  (12 Punkte)

Die
Funktion  mit der Frequenz 1.0 Hz wird mit der
Blockgröße N=10 abgetastet.

a)    1P Tragen Sie die Zeitwerte für
die Abtastpunkte in die nachfolgende Tabelle ein.

b)    1P Tragen Sie die Amplitudenwerte
der Funktion in die Tabelle ein.

c)    1P Skizzieren Sie die Funktion und deren
Abtastwerte.

d)    6P Berechnen Sie für die
Funktion aus den Abtastwerten jeweils die skalierte DFT für m=0, m=1, m=2,
m=3, m=4. Bitte mit Angabe der Formel!!!

e)    1P Zeichnen Sie das
Amplitudenspektrum der skalierten DFT für die Funktion.

f)    2P Welcher Zusammenhang besteht
zwischen der Amplitude b von Aufgabe 1 und der Amplitude der ersten
Harmonischen dieser Aufgabe?

n=

t/s

f[n]

0

0

0

1

0,1

1

2

0,2

1

3

0,3

1

4

0,4

1

5

0,5

0

1

6

0,6

-1

7

0,7

-1

8

0,8

-1

9

0,9

-1

Bei einem Pulse Delay von 0.5 entsteht bei HPVEE
f[n=5]=0. Hier wurden in der Klausur beide Lösungen als richtig bewertet. Der
Mittelwert 0 bedingt aber f[5]=0.

Lösung d)

Lösung f)

Die Amplituden müssen gleich sein, die
DFT-Amplituden und die Amplitude der Fourierreihe für die erste
Harmonische sind gleich. Die Fourierreihe bildet die optimale Annäherung
im Sinne des Gauß’schen Fehlerquadrates.

Siehe auch HP VEE

Siehe Maple Wavelet_DFT.vee

3.
DGL - Übertragungsfunktion - Systemantwort (15 Punkte)

Gegeben
ist ein
Tiefpass:

Schaltung mit R und C

a)  (3P)
Erstellen Sie die Übertragungsfunktion G1(s)

b)  (1P)
Erstellen Sie die Übertragungsfunktion G2 (s) für die
Werte

– Darstellung: Die höchste Potenz im Nenner hat den Faktor 1.

(10P) Bestimmen Sie die Antwort y(t) des Systems G2
(s) auf die Eingangsfunktion:

> x2:=+sum('Heaviside(t-0.5*k)*(-1)^k','k'=0..20)-1.0*Heaviside(t-10);

Hinweis: Schreiben Sie den Ansatz für Maple auf. Als Ergebnis genügt
die Skizze. Das Ergebnis ist etwas umfangreicher. Skizzieren Sie die
Eingangsfunktion.

c)  (2P)
Skizzieren Sie Antwort für t=0 bis t=15.

Lösung
Aufgabe 3a

> restart;

> with (inttrans):

> assume(a>0);

Funktion eingeben:

> x(t):=+sum('Heaviside(t-0.5*k)*(-1)^k','k'=0..20)-1.0*Heaviside(t-10);

plot(x(t), t=0..5);

> X(s):=laplace(x(t),t,s);

>

Hier Übertragungsfunktion eingeben:

> G(s):=1/(s+1);

> Y(s):=G(s)*X(s);

> y(t):=invlaplace(Y(s), s, t);

zusätzlich Zeichengrenzen eingeben:

> plot([x(t),y(t)], t=0..10, color=[red,blue], style=[line,line]);

>

4      FIR-Filter  (11 Punkte)

An einem Motoren-Prüfstand wird ein
FIR-Bandpass von 10kHz bis 15 kHz mit N=8 eingesetzt. Die Abtastfrequenz
beträgt 48kHz.

a. Berechnen Sie die Filterkoeffizienten und
skizzieren Sie das Ausgangssignal bei einem Eingangsimpuls der Breite 5 und der
Amplitude 1.

Damit die Anlage werbewirksamer verkauft werden
kann, möchte ein Verkäufer einzig die Abtastfrequenz von 48kHz auf
96kHz erhöhen. Um die „Verbesserung“ nachzuweisen, vergleicht
ein Ingenieur die beiden Ergebnisse auf den Testimpuls der Breite 5.

b. Welche Differenz der beiden Lösungen ist bei
der höchsten Amplitude des Ausgangssignals zu erwarten?

c. Was hat der Verkäufer nicht
berücksichtigt?

a)  Die
Filtergleichung für das FIR-Filter

Lösung:

Formel für Tiefpass

k

ak

0

0,208

1

-0,013

2

-0,192

3

0,034

4

0,148

5

-0,041

6

-0,091

7

0,030

8

0,034

9

10

Lösung mit 48kHz Abtastrate aus
Excel: FIR-SS07_48kHz.xls (Tobias Zachmann)

Bild: Antwort des Bandpasses mit
Abtastfrequenz 48kHz auf einen Impuls der Breite 5

Bild: Antwort des Bandpasses mit
Abtastfrequenz 96kHz auf einen Impuls der Breite 5

Die schönen Lösungen in Excel sind von
Herrn Tobias Zachmann (Klausur SS07)

b)  Die Differenz ist 0,4

c)  Der Verkäufer hat den Zusammenhang
zwischen Abtastfrequenz und Signalfrequenz bei einem FIR-Filter nicht
berücksichtigt!