Prüfung:                           Informationstechnik MT 7D51

Termin:                             Montag, 13. Februar 2006
11:00 – 13:00

Prüfer:                              Prof. J. Walter

Hilfsmittel:                       beliebig / kein Internet / kein WLAN

Name:                        _________________________

Vorname:                  _________________________

Projekt:                     _________________________

bitte keine rote Farbe verwenden

(nicht ausfüllen) !

Aufgabe

mögl. Punkte

erreichte Punkte

1

12

2

12

3

15

4

11

Gesamt

50

Note

Bearbeiten Sie die Aufgaben nur, falls Sie keine gesundheitlichen Beschwerden haben.

Viel Erfolg

Bemerkung:

Sie können die Vorder- und Rückseite benutzten. Es werden nur die auf den Prüfungsblättern vorhandenen oder fest mit den Prüfungsblättern verbundenen Ergebnisse gewertet.

1.     Gauß'sches Prinzip der kleinsten Fehlerquadrate (12 Punkte)

Die Funktion:    soll im Bereich  optimal durch ein Polynom  angenähert werden.

a)   8P  Bestimmen Sie die Gleichung des Polynoms.

b)   2P  Skizzieren Sie das Ergebnis.

c)   2P An welche-r/n Stelle/n tritt die größte Abweichung auf?

Lösung:

> f(x):=2.25*cos(x);

> y(x):=a+b*x+c*x*x;

> GLa:=0=diff(int(((2.25*cos(x))-(a+b*x+c*x*x))^2, x=-1.5..1.5),a);

> GLb:=0=diff(int(((f(x))-(y(x)))^2, x=-1.5..1.5),b);

> GLc:=0=diff(int(((f(x))-(y(x)))^2, x=-1.5..1.5),c);

> solve({GLa, GLb, GLc},{a,b,c});

>  y(x):=2.212582201-.9551196281*x*x;

> plot([f(x),y(x)], x=-1.5..1.5, color=[red,blue], style=[point,line]);

> plot(f(x)-y(x),x=-1.5..1.5);

>

2.     DFT  (12 Punkte)

Eine Cosinusfunktion (Amplitudenwerte +1, -1) mit der Frequenz 100 Hz und dem Offset von 0,5  wird mit der Blockgröße N=14 abgetastet. Die Messzeit ist 20ms.

a)     1P Tragen Sie die Zeitwerte für die Abtastpunkte in die nachfolgende Tabelle ein.

b)     1P Skizzieren Sie die Funktion und die Abtastwerte in Bild 1.

c)     8P Berechnen Sie aus den Abtastwerten die skalierte DFT für m=0, m=1, m=2, m=3, m=4,

d)     1P Zeichnen Sie das Amplitudenspektrum

e)     1P Erklären Sie das Ergebnis

Bild 1: Cosinus mit den Abtastpunkten inkl. Offset

n=

t/ms

cos(x)

0

0

1,5

1

1,429

1,123

2

2,857

0,277

3

4,286

-0,401

4

5,714

-0,401

5

7,143

0,277

6

8,571

1,123

7

10

1,5

8

11,429

1,123

9

12,857

0,277

10

14,286

-0,401

11

15,714

-0,401

12

17,143

0,277

13

18,571

1,123

Die Werte berechnen Sie mit der Formel für die skalierte DFT:

Der Mittelwert wurde m=0 wurde extra berechnet. Berechnung wird mit Excel oder HPVEE durchgeführt.

m

|A|

0

0,5

1

0

2

1

3

0

4

0

Der Offset erscheint im Amplitudendichtespektrum als Amplitude 0,5 bei der Frequenz 0 = Mittelwert
3. DGL - Übertragungsfunktion - Systemantwort (15 Punkte)

Gegeben ist das R,L,C-Glied:

|

L

Schaltung mit R, L  und C

a)   (3P) Erstellen Sie die Übertragungsfunktion G1(s) – Darstellung: Die höchste Potenz im Nenner hat den Faktor 1.

b)   (1P) Erstellen Sie die Übertragungsfunktion G2 (s) für die Werte

c)   (10P) Bestimmen Sie die Antwort y(t) des Systems G2 (s) auf die Impulsfolge:
Hinweis: Schreiben Sie den Ansatz für Maple auf. Als Ergebnis genügt die Skizze. Die Formel ist etwas umfangreicher.

d)   (2P) Skizzieren Sie Antwort für t=0 bis t=2.

Lösung Aufgabe 3a

Lösung mit Maple

with(inttrans):assume(a>0):

y(t):=invlaplace(Y(s), s, t);

Bemerkung y(t) musste nicht abgeschrieben werden.

y(t)

4      FIR-Filter  (11 Punkte)

Ein Tiefpass mit der Grenzfrequenz fgunten=100Hz ist als FIR-Filter für N=8 zu entwerfen. Die Abtastfrequenz beträgt fa=5 kHz.

a)   Berechnen Sie die Filtergleichung für das FIR-Filter

b)   Berechnen und skizzieren Sie die Antwort y1[n] auf einen Impuls x[n] der Breite 11 des FIR-Filters.

c)   Ein zweiter TP mit den gleichen Daten folgt dem ersten TP. Berechnen und skizzieren Sie die Antwort y2[n], wenn der Ausgang von TP1 wird auf den Eingang von TP2 geschaltet ist.

Lösung:

Berechnung der Filterkoeffizienten mit:

Mit den ak:

k

ak

-8

0,034

-7

0,035

-6

0,036

-5

0,037

-4

0,038

-3

0,039

-2

0,04

-1

0,04

0

0,04

In die Filtergleichung eingesetzt:

Ergibt sich die Tabelle:

Eingang

Ausgang/Eingang

Ausgang

-30

0

0

-29

0

0

-28

0

0

-27

0

0

-26

0

0

-25

0

0

-24

0

0

-23

0

0

-22

0

0

0

-21

0

0

0,00112861

-20

0

0

0,00348275

-19

0

0

0,00715045

-18

0

0

0,01220952

-17

0

0

0,01872639

-16

0

0

0,02675509

-15

0

0

0,03633625

-14

0

0

0,04749641

-13

0

0,03359474

0,0602473

-12

0

0,06863217

0,07458543

-11

0

0,10494852

0,0904918

-10

0

0,14236809

0,1068032

-9

0

0,18070483

0,12337251

-8

0

0,21976406

0,14004629

-7

0

0,25934428

0,15666642

-6

0

0,29923909

0,17307195

-5

1

0,33923909

0,18910096

-4

1

0,3791339

0,2024422

-3

1

0,41871412

0,21296124

-2

1

0,42417861

0,22055183

-1

1

0,42747792

0,22513716

0

1

0,42858114

0,22667078

1

1

0,42747792

0,22513716

2

1

0,42417861

0,22055183

3

1

0,41871412

0,21296124

4

1

0,3791339

0,2024422

5

1

0,33923909

0,18910096

6

0

0,29923909

0,17307195

7

0

0,25934428

0,15666642

8

0

0,21976406

0,14004629

9

0

0,18070483

0,12337251

10

0

0,14236809

0,1068032

11

0

0,10494852

0,0904918

12

0

0,06863217

0,07458543

13

0

0,03359474

0,0602473

14

0

0

0,04749641

15

0

0

0,03633625

16

0

0

0,02675509

17

0

0

0,01872639

18

0

0

0,01220952

19

0

0

0,00715045

20

0

0

0,00348275

21

0

0

0,00112861

22

0

0

0

23

0

0

0

24

0

0

0

25

0

0

0