Prüfung:                           Informationstechnik

Termin:                             Montag, 02.02.2004
11:00 – 13:00

Prüfer:                              Prof. J. Walter

Hilfsmittel:                       beliebig / Kein Internetzugang

Name:                        _________________________

Vorname:                  _________________________

Bemerkung:             _________________________

bitte keine rote Farbe verwenden

(nicht ausfüllen) !

Aufgabe

mögl. Punkte

erreichte Punkte

1

10

2

11

3

10

4

10

5

9

Gesamt

50

Note

Bearbeiten Sie die Aufgaben nur, falls Sie keine gesundheitlichen Beschwerden haben.

Viel Erfolg

Bemerkung:

Sie können die Vorder- und Rückseite benutzten. Es werden nur die auf den Prüfungsblättern vorhandenen oder fest mit den Prüfungsblättern verbundenen Ergebnisse gewertet.

1.     Gauß'sches Prinzip der kleinsten Fehlerquadrate (10 Punkte)

Die Funktion: soll im Bereich  optimal durch eine Gerade  angenähert werden.

a)   Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden

b)   Skizzieren Sie das Ergebnis

Lösung:

Lösung mit Maple:

> 0=diff(int(((cos(x)+sin(x))-(a*x+b))^2, x=0.9..4),a);

> 0=diff(int( ((cos(x)+sin(x))-(a*x+b))^2, x=0.9..4 ),b);

> b=solve( 0 = 6.747127478+42.18066666*a+15.19*b, b );

> a=solve( 0 = .5297516309+15.19*a+6.2*b, a );

> b=solve( b = -.4441821908-2.776870748*(-.3487502508e-1-.4081632653*b), b );

> a=solve(a = -.3487502508e-1-.4081632653*(2.603414197),a);

> plot([sin(x)+cos(x), -1.097*x+2.603], x=0.9..4, color=[red,blue], style=[point,line]);

>

2.     DFT  (11 Punkte)

Ein Cosinus (Amplitudenwerte +1, -1) mit der Frequenz 50 Hz wird mit der Blockgröße N=8 abgetastet. Die Messzeit ist 20ms. Infolge eines Softwarefehlers wurde ein Punkt falsch – nämlich doppelt – gespeichert.

a)     1P Tragen Sie die Abtastwerte aus der nachfolgenden Tabelle in die Zeichnung ein.

b)     1P Skizzieren Sie den „korrekten“ Cosinus.

c)     7P Berechnen Sie aus den Abtastwerten die skalierte DFT für m=0, m=1, m=2, m=3, m=4

d)     2P Zeichnen Sie das Amplitudenspektrum für den „korrekten“ und „fälschlicherweise“ abgetasteten Cosinus.

Bild 1: Cosinus „falsch“ und „richtig“

Der rote Punkt ist fehlerhaft.

n=

f(n)

t/ms

0

1

0

1

+0.707

2,5

2

+0.707

5

3

-0.707

7,5

4

-1

10

5

-0.707

12,5

6

0

15

7

+0.707

17,5

Lösung c :

m=0

0,088

0

m=1

1,016

1

m=2

0,177

0

m=3

0,177

0

m=4

0,177

0

Die Werte wurden mit der Formel für die skalierte DFT berechnet :

Der Mittelwert wurde m=0 wurde extra berechnet.

Lösung d

Bemerkung:

Das Amplitudendichtespektrum wurde aus der skalierten DFT gewonnen. Selbstverständlich muss bei einer Messung die Amplitude unabhängig von der gewählten Anzahl der Abtastpunkte sein.
3. DGL - Übertragungsfunktion - Systemantwort (10 Punkte)

Erstellen Sie für die nachfolgende Schaltung die Übertragungsfunktion.

|

Schaltung mit R  und C

a)   Erstellen Sie die Übertragungsfunktion G1(s)

b)   Erstellen Sie die Übertragungsfunktion G(s) für die normierten Werte R=1, C=1

c)   Erstellen Sie die Differentialgleichung für den Zeitbereich ( System ist am Anfang in Ruhe)

d)   Bestimmen Sie die Impulsantwort für die normierten Werte R=1, C=1,

e)   Skizzieren Sie die Impulsantwort für t=0 bis 6

Lösung Aufgabe 3a

Lösung b

Lösung c

Lösung Aufgabe d

Mit Maple:

> with(inttrans):

> invlaplace((s/2+(1/(2*R*C)))/(s+(3/(4*R*C))), s, t);

> plot(1/2*Dirac(t)+1/8*exp(-3/4*t), t=0..5);

Führt man den Plot nur in Maple aus wird dieser falsch, da der Dirac-Stoß nicht eingezeichnet wird.
4      FIR-Filter  (10 Punkte)

Ein Bandpass mit den Grenzfrequenzen fgoben = 120Hz und fgunten=80Hz ist als FIR-Filter für N=5 zu entwerfen. Die Abtastfrequenz beträgt fa=1,2 kHz.

a)   Berechnen Sie die Filtergleichung für das FIR-Filter

b)   Berechnen und skizzieren Sie die Impuls-Antwort des FIR-Filters.

Lösung:

Formel für TP

Bandpass=Tiefpass_Oben-Tiefpass_Unten

akBP=akTPo-akTPu    ( 1 Punkt )

-0,055

a5

a-5

-0,032

a4

a-4

0

a3

a-3

0,033

a2

a-2

0,058

a1

a-1

0,067

a_0

( 5 Punkte )
Berechnung mit Excel:

n

xn – Eingang

yn-Ausgang

-10

0

0

-9

0

0

-8

0

0

-7

0

0

-6

0

0

-5

0

-0,055

-4

0

-0,032

-3

0

0

-2

0

0,033

-1

0

0,058

0

1

0,067

1

0

0,058

2

0

0,033

3

0

0

4

0

-0,032

5

0

-0,055

6

0

0

7

0

0

8

0

0

9

0

0

10

0

0

5 Skizzieren Sie die Kurven nach den vorgegebenen Werten:

Cosinus mit Rauschen mit Amplitude 0.2

Die Faltung zweier Rechtecke: 6 Punkte

Die Amplitude des entstehenden Dreiecks berechnet sich über die Blockgröße N=256.

Die Amplitude ist die Hälfte der Blockgröße=128. Die Breite des Impulses ist 20ms.

diskrete Faltung