Prüfung:                           Informationstechnik

Termin:                             Freitag, 28.01.2005
9:00 – 11:00

Prüfer:                              Prof. J. Walter

Hilfsmittel:                       beliebig / kein Internet /kein WLAN

Name:                        _________________________

Vorname:                  _________________________

Projekt:                     _________________________

bitte keine rote Farbe verwenden

(nicht ausfüllen) !

Aufgabe

mögl. Punkte

erreichte Punkte

1

12

2

12

3

10

4

10

5

6

Gesamt

50

Note

Bearbeiten Sie die Aufgaben nur, falls Sie keine gesundheitlichen Beschwerden haben.

Viel Erfolg

Bemerkung:

Sie können die Vorder- und Rückseite benutzten. Es werden nur die auf den Prüfungsblättern vorhandenen oder fest mit den Prüfungsblättern verbundenen Ergebnisse gewertet.

1.     Gauß'sches Prinzip der kleinsten Fehlerquadrate (12 Punkte)

Die Funktion:    soll im Bereich  optimal durch eine Gerade  angenähert werden.

a)   8P  Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden

b)   2P  Skizzieren Sie das Ergebnis

c)   2P An welche-r/n Stelle/n tritt die größte Abweichung auf?

Lösung:

Mit Maple:

> 0=diff(int(((sin(x)/x)-(a+b*x))^2, x=1..2),a);

> 0=diff(int(((sin(x)/x)-(a+b*x))^2, x=1..2),b);

> GLa:=0=diff(int(((sin(x)/x)-(a+b*x))^2, x=1..2),a);

> GLb:=0=diff(int(((sin(x)/x)-(a+b*x))^2, x=1..2),b);

> solve({GLa, GLb},{a,b});

> y(x):=28*Si(2)+18*cos(2)-28*Si(1)-18*cos(1)+(-12*cos(2)-18*Si(2)+18*Si(1)+12*cos(1))*x;

> evalf({%});y(x):=28*Si(2)+18*cos(2)-28*Si(1)-18*cos(1)+(-12*cos(2)-18*Si(2)+18*Si(1)+12*cos(1))*x;

Oder

> evalf({b = -12*cos(2)-18*Si(2)+18*Si(1)+12*cos(1), a = 28*Si(2)+18*cos(2)-28*Si(1)-18*cos(1)});

> f(x):=sin(x)/x;

> plot([f(x),y(x)], x=1..2, color=[red,blue], style=[point,line]);

> plot(f(x)-y(x),x=1..2);

Lösung c:
Die größte Abweichung tritt bei dem Wert 1 auf.

2.   DFT  (12 Punkte)

Eine Dreiecksfunktion (Amplitudenwerte +1, -1) mit der Frequenz 50 Hz wird mit der Blockgröße N=12 abgetastet. Die Messzeit ist 20ms. Die Abtastwerte finden Sie auf der nächsten Seite

a)     1P Tragen Sie die Zeitwerte für die Abtastpunkte in die nachfolgende Tabelle ein.

b)     1P Skizzieren Sie das Dreieck und die Abtastwerte in Bild 1.

c)     8P Berechnen Sie aus den Abtastwerten die skalierte DFT für m=0, m=1, m=2, m=3, m=4, m=5, m=6

d)     1P Zeichnen Sie das Amplitudenspektrum

e)     1P Erklären Sie das Ergebnis

Bild 1: Dreieck mit den Abtastpunkten

n=

Dreieck

t/ms

0

0

0

1

0,33

1,667

2

0,66

3,333

3

1

5

4

0,66

6,667

5

0,33

8,333

6

0

10

7

-0,33

11,667

8

-0,66

13,333

9

-1

15

10

-0,66

16,667

11

-0,33

18,333

Die Werte berechnen Sie mit der Formel für die skalierte DFT:

Der Mittelwert wurde m=0 wurde extra berechnet. Berechnung wird mit Excel oder HPVEE durchgeführt.

m

|A|

0

0

1

0,829

2

0

3

0,111

4

0

5

0,06

6

0

Bild: Das Amplitudendichtespektrum der skalierten DFT

Es sind im Signal höhere Frequenzen vorhanden – Das Abtasttheorem wird verletzt. Die höheren Frequenzen haben immer kleinere Amplituden. Ungerade Funktion -> Nur Sinusanteile – keine Cosinusanteile
3. DGL - Übertragungsfunktion - Systemantwort (10 Punkte)

Erstellen Sie für die nachfolgende Schaltung die Übertragungsfunktion.

|

Schaltung mit R, L  und C

a)   3P Erstellen Sie die Übertragungsfunktion G1(s) – Darstellung: Die höchste Potenz im Nenner hat den Faktor 1.

b)   1P Erstellen Sie die Übertragungsfunktion G(s) für die normierten Werte R=1, C=1, L=1.

c)   2P Erstellen Sie die Differentialgleichung für den Zeitbereich (System ist am Anfang in Ruhe).

d)   2P Bestimmen Sie die Sprungantwort für die normierten Werte R=1, C=1, L=1.

e)   1P Ermitteln Sie den Wert für h(t=0)

f)     1P Skizzieren Sie die Sprungantwort für t=0 bis t=25.

Lösung Aufgabe 3a

Lösung b

Lösung c

Lösung Aufgabe d

>  with(inttrans):

> assume(a>0):

h(t):=invlaplace(((s^2/2)+0.5)/((s^2+s/2+0.5)*s), s, t);

> x(t):=1;

> plot([x(t),h(t)], t=0..25, color=[red,blue], style=[point,line]);

4      FIR-Filter  (10 Punkte)

Eine Bandpass mit den Grenzfrequenzen fgoben = 800Hz und fgunten=200Hz ist als FIR-Filter für N=6 zu entwerfen. Die Abtastfrequenz beträgt fa=10 kHz.

a)   Berechnen Sie die Filtergleichung für das FIR-Filter

b)   Berechnen und skizzieren Sie die Impuls-Antwort des FIR-Filters.

Lösung:

Formel für TP

Bandspass= (Tiefpass_Oben-Tiefpass_Unten)

akBSP= (akTPo-akTPu)    ( 1 Punkt )

-0,03

a6

a-6

0

a5

a-5

0,034

a4

a-4

0,067

a3

a-3

0,095

a2

a-2

0,113

a1

a-1

0,12

a_0

( 5 Punkte )

Eingang

Ausgang

-14

0

0

-13

0

0

-12

0

0

-11

0

0

-10

0

0

-9

0

0

-8

0

0

-7

0

0

-6

0

-0,03

-5

0

0

-4

0

0,034

-3

0

0,067

-2

0

0,095

-1

0

0,113

0

1

0,12

1

0

0,113

2

0

0,095

3

0

0,067

4

0

0,034

5

0

0

6

0

-0,02966722

7

0

0

8

0

0

9

0

0

10

0

0

5 Faltung - Korrelation:

Berechnen Sie für die beiden diskreten Funktionen:

x(m)=1,2,3,4,5

h(m)=1,2,3

a)     3P - die diskrete Korrelation

b)     3P - die diskrete Faltung

Lösung a: diskrete Korrelation

1

2

3

4

5

1

2

3

3

1

2

3

8

1

2

3

14

1

2

3

20

1

2

3

26

1

2

3

14

1

2

3

5

Lösung b: diskrete Faltung

1

2

3

4

5

3

2

1

1

3

2

1

4

3

2

1

10

3

2

1

16

3

2

1

22

3

2

1

22

3

2

1

15