Prüfung:                           Informationstechnik

Termin:                             Mittwoch, 14.07.2004
11:30 – 13:30

Prüfer:                              Prof. J. Walter

Hilfsmittel:                       beliebig / Kein Internetzugang

Name:                        _________________________

Vorname:                  _________________________

Projekt:                     _________________________

bitte keine rote Farbe verwenden

(nicht ausfüllen) !

Aufgabe

mögl. Punkte

erreichte Punkte

1

14

2

14

3

10

4

10

5

9

Gesamt

50

Note

Bearbeiten Sie die Aufgaben nur, falls Sie keine gesundheitlichen Beschwerden haben.

Viel Erfolg

Bemerkung:

Sie können die Vorder- und Rückseite benutzten. Es werden nur die auf den Prüfungsblättern vorhandenen oder fest mit den Prüfungsblättern verbundenen Ergebnisse gewertet.

1.     Gauß'sches Prinzip der kleinsten Fehlerquadrate (14 Punkte)

Die Funktion:    soll im Bereich  optimal durch eine Parabel  angenähert werden.

a)   Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel

b)   Skizzieren Sie das Ergebnis

Lösung:

Lösung mit Maple:

> GLa:=0=diff(int(((cos(x)+1)-(a+b*x+c*x*x))^2, x=1..5.2),a);

> GLb:=0=diff(int(((cos(x)+1)-(a+b*x+c*x*x))^2, x=1..5.2),b);

> GLc:=0=diff(int(((cos(x)+1)-(a+b*x+c*x*x))^2, x=1..5.2),c);

> solve({GLa, GLb, GLc},{a,b,c});

> y(x):=3.602017024-2.259431456*x+.3602458401*x*x;

> f(x):=cos(x)+1;

> plot([f(x),y(x)], x=1..5.2, color=[red,blue], style=[point,line]);

2.     DFT  (14 Punkte)

Ein Sinus (Amplitudenwerte +1, -1) und ein Cosinus mit der Frequenz 100 Hz wird mit der Blockgröße N=10 abgetastet. Die Messzeit ist 20ms. Die Abtastwerte finden Sie auf der nächsten Seite

a)     1P Tragen Sie die Zeitwerte für die Abtastpunkte in die nachfolgende Tabelle ein.

b)     1P Skizzieren Sie den Sinus und die Abtastwerte in Bild 1.

c)     1P Skizzieren Sie den Cosinus und die Abtastwerte in Bild 1.

d)     7P Berechnen Sie aus den Abtastwerten die skalierte DFT für m=0, m=1, m=2, m=3, m=4, m=5

e)     2P Zeichnen Sie das Amplitudenspektrum für Sinus und Cosinus.

f)       2P Erklären Sie das Ergebnis

Bild 1: Sinus und Cosinus mit den Abtastpunkten

n=

sin

cos

t/ms

0

0

1

0

1

0,95

0,31

2

2

0,59

-0,81

4

3

-0,59

-0,81

6

4

-0,95

0,31

8

5

0

1

10

6

0,95

0,31

12

7

0,59

-0,81

14

8

-0,59

-0,81

16

9

-0,95

0,31

18

Lösung d :

m-te
Schwingung

sin(wt)

cos(wt)

m=0

0

0

m=1

0

0

m=2

1

1

m=3

0

0

m=4

0

0

m=5

0

0

Die Werte wurden mit der Formel für die skalierte DFT berechnet :

Der Mittelwert wurde m=0 wurde extra berechnet.

Lösung e

Grundfrequenz = 50 Hz

f)  Beim Betragsspektrum geht die Information bezüglich der Phase verloren. Hierdurch kann nicht mehr zwischen Sinus und Cosinus unterschieden werden. Die Grundfrequenz  wird durch die Fensterbreite bestimmt -> 50Hz. Es tritt die zweite Harmonische auf ->100Hz.
3. DGL - Übertragungsfunktion - Systemantwort (10 Punkte)

Erstellen Sie für die nachfolgende Schaltung die Übertragungsfunktion.

|

Schaltung mit R, L  und C

a)   3P Erstellen Sie die Übertragungsfunktion G1(s) – Darstellung: Die höchste Potenz im Nenner hat den Faktor 1.

b)   1P Erstellen Sie die Übertragungsfunktion G(s) für die normierten Werte R=1, C=1, L=1.

c)   2P Erstellen Sie die Differentialgleichung für den Zeitbereich ( System ist am Anfang in Ruhe).

d)   2P Bestimmen Sie die Sprungantwort für die normierten Werte R=1, C=1, L=1.

e)   2P Skizzieren Sie die Sprungantwort für t=0 bis t=15.

Lösung Aufgabe 3a

Lösung b

Lösung c

Lösung Aufgabe d

Mit Maple:

> with(inttrans):

> assume(a>0):

> invlaplace(((s/2)+0.5)/((s^2+s+0.5)*s), s, t);

> plot(1.-1.*exp(-.5000000000*t)*cos(.5000000000*t), t=0..15);

4      FIR-Filter  (10 Punkte)

Eine Bandsperre mit den Grenzfrequenzen fgoben = 1200Hz und fgunten=800Hz ist als FIR-Filter für N=5

zu entwerfen. Die Abtastfrequenz beträgt fa=12 kHz.

a)   Berechnen Sie die Filtergleichung für das FIR-Filter

b)   Berechnen und skizzieren Sie die Impuls-Antwort des FIR-Filters.

Lösung:

Formel für TP

Bandsperre=Allpass-(Tiefpass_Oben-Tiefpass_Unten)

akBSP= akAP –(akTPo-akTPu)    ( 1 Punkt )

0,055

a5

a-5

0,032

a4

a-4

0

a3

a-3

-0,033

a2

a-2

-0,058

a1

a-1

0,933

a_0

( 5 Punkte )
Berechnung mit Excel:

n

xn – Eingang

yn-Ausgang

-10

0

0

-9

0

0

-8

0

0

-7

0

0

-6

0

0

-5

0

0,055

-4

0

0,032

-3

0

0

-2

0

-0,033

-1

0

-0,058

0

1

0,933

1

0

-0,058

2

0

-0,033

3

0

0

4

0

0,032

5

0

0,055

6

0

0

7

0

0

8

0

0

9

0

0

10

0

0

Bild: Bandsperre mit FIR-Filter

5 Ordnen Sie richtig zu:  (2P)

A =3   B= 1   C=2

A

1

B

2

C

3